Zinseszins

Sparprognose mit monatlichen Einzahlungen. Kostenlos, ohne Upload. max. 1 GB · Bis zu 1 GB · Lokal verarbeitet, nie an einen Server gesendet.

Ein Tagesgeldkonto wirbt mit einem Jahreszins, ein Sparplan mit einer Durchschnittsrendite über zehn Jahre — für sich genommen sagen beide Zahlen wenig darüber aus, was am Ende auf dem Konto steht. Ersparnisse wachsen nämlich nicht geradlinig: Die Zinsen einer Periode schlagen sich dem Kapital zu und tragen in der nächsten Periode selbst wieder Zinsen. Genau diese Anhäufung projiziert diese Seite, ausgehend von einem Startkapital, einer monatlichen Sparrate, einem Jahreszins und einer Laufzeit zwischen einem und sechzig Jahren.

Gerechnet wird Monat für Monat und nicht Jahr für Jahr. Der eingegebene Jahreszins wird in den gleichwertigen Monatszins umgerechnet, auf den laufenden Kapitalstand angewendet, und erst danach kommt die Sparrate des Monats hinzu. Drei Felder nennen das Endkapital, die insgesamt eingezahlte Summe und den Zinsertrag; eine Tabelle darunter zeigt die Entwicklung Jahr für Jahr, mit den kumulierten Einzahlungen und den kumulierten Zinsen nebeneinander.

Die Projektion unterstellt eine über die gesamte Laufzeit gleichbleibende Rendite. Das ist eine Rechenannahme und nie eine Vorhersage: Weder Inflation noch Steuern noch Verwaltungskosten stecken in den hier verwendeten Formeln, und eine vergangene Rendite verpflichtet zu nichts. Die Formeln stehen weiter unten ausgeschrieben, mit der durchgerechneten Voreinstellung, sodass sich jede Zeile der Tabelle von Hand oder in einer Tabellenkalkulation nachvollziehen lässt.

So funktioniert es

  1. Das Startkapital eintragen Das Feld „Startkapital (€)“ nimmt auch null an: Eine Projektion, die bei nichts beginnt und ausschließlich auf den monatlichen Sparraten beruht, ist völlig zulässig.
  2. Die monatliche Sparrate festlegen Dieser Betrag wird am Ende jedes Monats gutgeschrieben, zwölfmal im Jahr, und ändert sich über die Laufzeit nicht. Lassen Sie ihn leer oder auf null, um allein das Startkapital wachsen zu sehen.
  3. Den Jahreszins angeben Im Schritt von 0,1 einstellbar, verstanden als Bruttozins und über die Laufzeit konstant. Es ist wirklich ein Jahreszins: Die Umrechnung auf den Monat übernimmt die Seite, und sie ist keine Division durch zwölf.
  4. Die Laufzeit wählen In Jahren, von 1 bis 60. Ab etwa einem Dutzend Zeilen druckt die Tabelle nicht mehr jedes Jahr, sondern eine gleichmäßige Auswahl, wobei das letzte Jahr stets sichtbar bleibt.
  5. Die drei Summen vergleichen Endkapital, eingezahlte Summe und Zinsertrag werden bei jeder Änderung neu berechnet. Der Abstand zwischen den ersten beiden Werten ist exakt der dritte.

Die Formel und ein vollständig durchgerechnetes Beispiel

Ohne Einzahlungen folgt das Kapital der klassischen Formel: Endkapital = Startkapital × (1 + Zins)^Laufzeit, mit dem Zins als Dezimalzahl und der Laufzeit in Jahren. Kommen regelmäßige Sparraten hinzu, tritt der Endwert einer Zahlungsreihe daneben, Sparrate × [(1 + i)^n − 1] ÷ i, wobei i der Monatszins ist und n die Zahl der Monate. Die Seite addiert diese beiden Größen, indem sie die Monate einzeln durchläuft.

Nehmen Sie die voreingestellten Werte: 1.000 Euro zum Start, 100 Euro im Monat, 5 Prozent im Jahr, zehn Jahre. Der gleichwertige Monatszins beträgt 0,407412 Prozent. Aus dem Startkapital werden 1.000 × 1,05^10 = 1.628,89 Euro. Die 120 Sparraten ergeben 100 × (1,628895 − 1) ÷ 0,00407412 = 15.436,32 Euro. Zusammen sind das 17.065,21 Euro, denen 13.000 Euro tatsächlich eingezahltes Geld und 4.065,21 Euro Zinsen gegenüberstehen.

Die eingezahlte Summe enthält das Startkapital, deshalb steht dort 13.000 und nicht 12.000 Euro. Der ausgewiesene Zinsertrag ist schlicht die Differenz zwischen dem Endkapital und dieser Summe, und die kumulierende Spalte der Tabelle folgt derselben Definition. Nach dem ersten Jahr zeigt die Tabelle bereits 2.200 Euro Einzahlungen bei einem Kapital von 2.277,26 Euro, also 77,26 Euro Zinsen; nach fünf Jahren stehen 7.000 Euro Einzahlungen einem Kapital von 8.057,66 Euro gegenüber.

Einfache Zinsen und Zinseszinsen

Einfache Zinsen beziehen sich immer auf das ursprüngliche Kapital: 10.000 Euro zu 4 Prozent bringen jedes Jahr 400 Euro, nach fünf Jahren also 12.000 Euro. Zinseszinsen werden wieder angelegt, sodass die 4 Prozent im zweiten Jahr auf 10.400 Euro wirken, im dritten auf 10.816 Euro, und dieselbe Anlage nach fünf Jahren 12.166,53 Euro erreicht.

Ein Abstand von 166,53 Euro über fünf Jahre wirkt bescheiden, und genau darin liegt der Punkt: Er beschleunigt sich. Über lange Zeiträume ist die Laufzeit die empfindlichste Größe der Projektion, noch vor dem Zinssatz. Dehnen Sie die Voreinstellung von zehn auf zwanzig Jahre aus, stehen am Ende 43.233,75 Euro bei 25.000 Euro Einzahlungen, also 18.233,75 Euro Zinsen: Die eingezahlte Summe nicht ganz verdoppelt, der Zinsertrag mehr als vervierfacht.

Regelmäßige Sparraten wirken anders als eine lange Laufzeit. Sie verbreitern die Grundlage, auf die die Rendite wirkt, aber jeder einzelne Euro arbeitet kürzer als der davor; eine Rate aus dem letzten Jahr verdient nur noch ein Jahr lang Zinsen.

Warum 5 Prozent im Jahr nicht 0,4167 Prozent im Monat sind

Verwendet wird der gleichwertige Monatszins, gewonnen über die zwölfte Wurzel: (1 + 5/100)^(1/12) − 1 = 0,407412 Prozent. Zwölfmal aufgezinst ergibt er wieder genau 5 Prozent im Jahr. Teilt man dagegen 5 durch 12, kommt man auf 0,4167 Prozent, einen proportionalen Zins, dessen Aufzinsung über zwölf Monate 5,116 Prozent liefert — die zugesagte Rendite würde unbemerkt überschritten.

In der voreingestellten Simulation beträgt der Abstand zwischen den beiden Konventionen nach zehn Jahren rund 110 Euro, 17.175,24 gegenüber 17.065,21 Euro, und er wächst mit dem Zinssatz wie mit der Laufzeit. Diese Seite verwendet deshalb die aktuarielle Konvention, also diejenige, die zu dem effektiven Jahreszins passt, mit dem eine Bank oder ein Sparprodukt wirbt. Der Baufinanzierungsrechner dieser Seite verwendet die andere, die proportionale, weil sie in Kreditverträgen steht.

Die Sparrate wird nach der Verzinsung des Monats gutgeschrieben. Eine Einzahlung bringt daher in dem Monat, in dem sie erfolgt, noch nichts ein: Das ist die nachschüssige Konvention, die vorsichtigere der beiden und die in Sparrechnern verbreitetere. Eine vorschüssige Rechnung würde jeder Rate einen Monat zusätzliches Wachstum schenken.

Was die Projektion nicht enthält

Steuern werden nicht abgezogen. In Deutschland unterliegen Kapitalerträge der Abgeltungsteuer von 25 Prozent zuzüglich Solidaritätszuschlag und gegebenenfalls Kirchensteuer, und zwar oberhalb des Sparer-Pauschbetrags, dessen Höhe der Gesetzgeber festlegt und mehrfach angepasst hat — prüfen Sie den geltenden Wert, statt sich auf eine gemerkte Zahl zu verlassen. Ein Freistellungsauftrag bei der Bank verhindert den Einbehalt bis zu diesem Betrag, und bei Aktienfonds mindert eine Teilfreistellung den steuerpflichtigen Anteil. Das angezeigte Endkapital ist in jedem Fall ein Bruttowert.

Auch die Inflation fehlt. Ein Kapital von 17.065 Euro in zehn Jahren kauft nicht das, was es heute kauft. Wer in heutiger Kaufkraft rechnen möchte, trägt statt des nominalen Zinses eine bereits um die erwartete Teuerung verminderte Rendite ein. Ausgabeaufschläge, laufende Kosten eines Fonds und Depotgebühren schmälern das Ergebnis auf dieselbe Weise und sind ebenfalls nicht modelliert: Laufende Kosten von einem Prozent im Jahr entsprechen einem vollen Prozentpunkt weniger bei der Zinseingabe.

Eine feste Rendite ist schließlich eine Bequemlichkeit der Rechnung. Ein Tagesgeldzins ändert sich, sobald die Bank es beschließt, ein Fonds weist jedes Jahr eine andere Zahl aus, und ein Aktiendepot kann mehrere Jahre hintereinander nachgeben, bevor es sich erholt. Die Reihenfolge, in der gute und schlechte Jahre eintreffen, verändert das Endkapital selbst dann, wenn der Durchschnitt gleich bleibt. Die hier erzeugte Kurve ist ein theoretischer Verlauf unter vielen; diese Seite empfiehlt kein Produkt und erteilt keine Anlageberatung.

Häufige Fragen

Warum ist die eingezahlte Summe größer als die Summe meiner Sparraten?

Weil sie das Startkapital einschließt. Bei 1.000 Euro zum Start und 100 Euro im Monat über zehn Jahre steht dort 13.000 Euro, also 1.000 plus 120 × 100. Der Zinsertrag ist dann das Endkapital abzüglich genau dieser Summe.

Wird der Jahreszins durch zwölf geteilt?

Nein. Er wird über die zwölfte Wurzel umgerechnet, was bei 5 Prozent im Jahr 0,407412 Prozent im Monat ergibt. Ein unangetastetes Kapital landet dadurch auf den Cent genau bei dem Wert, den die Jahresformel vorhersagt, statt darüber hinauszuschießen.

Bringt eine Sparrate schon in dem Monat Zinsen, in dem sie eingezahlt wird?

Nein. In jedem Monat werden zuerst die Zinsen gutgeschrieben und danach die Sparrate addiert. Eine Einzahlung beginnt im Folgemonat zu arbeiten, was der vorsichtigeren der beiden üblichen Konventionen entspricht.

Warum überspringt die Tabelle Jahre?

Ab zwölf Zeilen zeigt sie nur noch eine gleichmäßige Auswahl, damit sie lesbar bleibt, und behält dabei immer das letzte Jahr. Die berücksichtigte Laufzeit ist auf sechzig Jahre begrenzt; ein größerer Wert wird auf diese Grenze zurückgeführt.

Sind Steuern und Inflation vom Endkapital abgezogen?

Weder noch. Das Ergebnis versteht sich vor Steuern und in heutigen Nominalbeträgen. Um sich der Kaufkraft anzunähern, geben Sie einen Realzins ein, also die erwartete Rendite abzüglich der erwarteten Teuerung.

Gilt die Projektion für ein Aktiendepot?

Sie liefert eine durchschnittliche Größenordnung, mehr nicht. Die Rechnung unterstellt in jedem einzelnen Monat dieselbe Rendite, während ein Markt zwischen Anstiegen und Rückgängen wechselt und die Reihenfolge dieser Bewegungen das Endkapital verändert.

Ähnliche Werkzeuge

Weitere Werkzeuge entdecken

Kategorien