Prozentrechner

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Drei Fragen kommen bei Prozentrechnung immer wieder, und keine davon ist dieselbe Rechenoperation. Wie viel sind 15 Prozent von 240? Welchen Anteil hat 45 an 180? Um wie viel ändert sich ein Preis, der von 89,90 auf 62,93 fällt? Diese Seite stellt die drei Rechnungen nebeneinander, jede in einer eigenen Karte mit zwei Feldern und einem Ergebnis.

Bestätigen müssen Sie nichts. Eine Karte aktualisiert sich, sobald beide Felder eine Zahl enthalten; Nachkommastellen sind ohne feste Schrittweite erlaubt, und das Ergebnis erscheint mit zwei Nachkommastellen und Komma als Trennzeichen. Die drei Karten sind voneinander unabhängig, sodass ein Wert in der einen stehen bleiben kann, während Sie in einer anderen arbeiten, und eine dreistufige Rechnung sichtbar bleibt, statt bei jedem Schritt neu getippt zu werden.

Schwierig ist an Prozenten nie die Arithmetik, sondern die Bezugsgröße. Ein Aufschlag und ein Abschlag gleicher Höhe gleichen sich nicht aus, zwei aufeinanderfolgende Rabatte addieren sich nicht, und ein Abstand in Prozentpunkten ist keine prozentuale Veränderung. Diese drei Fallen sind weiter unten mit der vollständigen Rechnung durchgespielt.

So funktioniert es

  1. Die passende Karte suchen Drei Blöcke folgen untereinander: „Wie viel sind X % von Y?“, „Welchen Prozentsatz macht X von Y aus?“ und „Veränderung von X auf Y (Anstieg oder Rabatt)“.
  2. Erste Karte, einen Satz anwenden Tragen Sie den Satz in „X (%)“ ein und den Wert in „Y“. Das Ergebnis ist eine nackte Zahl ohne Einheit: Ob dahinter Euro, Gramm oder Besucher stehen, müssen Sie selbst wissen.
  3. Zweite Karte, einen Anteil ausdrücken X ist der Teil, Y das Ganze, und hinter dem Ergebnis steht ein Prozentzeichen. Ist das Ganze null, erscheint ein Strich, denn ein Anteil an nichts lässt sich nicht angeben.
  4. Dritte Karte, eine Veränderung messen X ist der Ausgangswert, Y der Endwert. Vor einem Anstieg steht ein Pluszeichen, ein Rückgang trägt sein Minus von selbst. Die Reihenfolge der beiden Felder legt die Richtung fest.
  5. Werte im Lauf korrigieren Beide Felder nehmen jede Dezimalzahl ohne feste Schrittweite an. Eine geänderte Ziffer berechnet sofort nur diese eine Karte neu und lässt die beiden anderen unberührt.

Die drei Formeln

Einen Satz anwenden: X % von Y = X × Y ÷ 100. Fünfzehn Prozent von 240 sind 15 × 240 ÷ 100 = 36. Einen Anteil ausdrücken: X ÷ Y × 100. Fünfundvierzig von hundertachtzig ergeben 45 ÷ 180 × 100 = 25 Prozent. Eine Veränderung messen: (Y − X) ÷ X × 100. Von 89,90 auf 62,93 sind das (62,93 − 89,90) ÷ 89,90 × 100 = −30 Prozent.

Von einer Formel zur nächsten wechselt allein der Nenner, und genau dort sitzen die Fehler. Eine Veränderung bezieht sich immer auf den Ausgangswert, nie auf den Endwert und nie auf den Mittelwert der beiden. Die zwei Felder der dritten Karte zu vertauschen liefert deshalb nicht die Gegenzahl: Von 100 auf 120 liest man +20 Prozent, von 120 auf 100 dagegen −16,67 Prozent.

Zwanzig Prozent Aufschlag, zwanzig Prozent Abschlag

Am Ende steht nicht der Ausgangswert. Beginnen Sie bei 100: Der Aufschlag von 20 Prozent addiert 20 und führt auf 120. Der Abschlag von 20 Prozent bezieht sich nun auf 120, nimmt also 24 weg und nicht 20, und lässt 96 übrig. Über den ganzen Weg meldet die dritte Karte (96 − 100) ÷ 100 × 100 = −4 Prozent.

Die Ursache ist der Wechsel der Bezugsgröße: Der erste Prozentsatz wirkt auf 100, der zweite auf 120. Um von 120 wieder genau auf 100 zu kommen, müssen 20 ÷ 120 verschwinden, also 16,67 Prozent — die dritte Karte bestätigt das, wenn Sie 120 und 100 eingeben. Ein Hin und Zurück von 50 Prozent ist noch auffälliger: Ein halbierter Wert muss sich anschließend verdoppeln, also um 100 Prozent zulegen, um wieder auf dem alten Stand zu sein.

Derselbe Mechanismus regiert gestapelte Rabatte. Ein Schild, das „30 Prozent und auf den reduzierten Preis noch einmal 20 Prozent“ verspricht, ergibt keine 50 Prozent: Der Preis wird mit 0,70 und dann mit 0,80 multipliziert, macht 0,56, und das entspricht einem tatsächlichen Nachlass von 44 Prozent.

Prozentpunkte, Prozent und Einheiten

Ein Satz, der von 4 auf 6 Prozent steigt, gewinnt zwei Prozentpunkte, während die dritte Karte +50 Prozent meldet. Beide Aussagen sind richtig. Prozentpunkte messen den absoluten Abstand zwischen zwei Sätzen, der Prozentwert misst die relative Bewegung von einem zum anderen. In Berichten über Wahlumfragen, Marktanteile und Zinssätze werden die beiden regelmäßig verwechselt, und die Verwechslung verschwindet, sobald der Satz benennt, welche der beiden Lesarten gemeint ist.

Die Karten führen keine Einheiten mit. Die erste liefert eine reine Zahl, die beiden anderen einen Prozentwert. Geben Sie Euro ein, lesen Sie Euro; mischen Sie Gramm und Liter, rechnet die Seite klaglos ein sauber formatiertes Ergebnis ohne jeden Sinn aus. Gewarnt wird nicht, weil hier nichts weiß, wofür die Zahlen stehen.

Was diese drei Karten nicht leisten

Keine von ihnen kehrt eine Veränderung um. Den ursprünglichen Preis aus einem Aktionspreis zurückzugewinnen verlangt eine Division: Ein Artikel, der nach 30 Prozent Rabatt mit 62,93 Euro ausgezeichnet ist, kostete vorher 62,93 ÷ 0,70 = 89,90 Euro. Derselbe Mechanismus steckt hinter dem Weg vom Brutto- zum Nettopreis, den der Umsatzsteuerrechner dieser Seite direkt in beide Richtungen erledigt.

Keine verkettet zwei Rechenschritte: Das Ergebnis der einen Karte muss von Hand in die nächste übertragen werden. Und keine ermittelt eine mittlere Rate über mehrere Perioden — dafür braucht es das geometrische Mittel und nicht den arithmetischen Durchschnitt der einzelnen Veränderungen.

Die dritte Karte setzt schließlich einen Ausgangswert ungleich null voraus. Bei null zeigt sie einen Strich, weil es aus dem Nichts heraus keine relative Veränderung gibt. Bei einem negativen Ausgangswert — einem Kontostand, einem Jahresergebnis — wird der Quotient zwar berechnet, das vorangestellte Vorzeichen folgt aber der Reihenfolge der beiden Zahlen und nicht der tatsächlichen Richtung, sodass vor einer Verschlechterung ein Plus stehen kann. Bei Größen, die das Vorzeichen wechseln, rechnen Sie besser mit der absoluten Differenz.

Häufige Fragen

Wie finde ich den Preis vor dem Rabatt?

Teilen Sie den Aktionspreis durch 1 minus den Satz: 62,93 ÷ 0,70 = 89,90 Euro bei 30 Prozent Rabatt. Keine der drei Karten führt diese Umkehrung aus, die Division lässt sich aber leicht getrennt aufschreiben.

Addieren sich zwei aufeinanderfolgende Rabatte?

Nein. Minus 30 Prozent und danach minus 20 Prozent bedeutet, mit 0,70 und dann mit 0,80 zu multiplizieren, also mit 0,56: Der Gesamtnachlass beträgt 44 Prozent, nicht 50. Rechnen Sie die beiden Schritte nacheinander, statt die Sätze zu addieren.

Warum steht im Ergebnis ein Strich?

Dafür gibt es drei mögliche Gründe: Eines der beiden Felder ist leer oder enthält keine Zahl, das Ganze in der zweiten Karte ist null, oder der Ausgangswert in der dritten Karte ist null. In den letzten beiden Fällen lässt sich die Division nicht ausführen.

Rechnet die erste Karte die Umsatzsteuer hinzu?

Sie liefert den Steuerbetrag — 19 Prozent von 1.000 sind 190 —, den Sie anschließend zum Nettopreis addieren. In der Gegenrichtung ergibt das Abziehen von 19 Prozent eines Bruttopreises ein falsches Ergebnis; der Umsatzsteuerrechner beherrscht beide Richtungen korrekt.

Sind zwei Prozentpunkte dasselbe wie 2 Prozent?

Nein. Ein Satz, der von 4 auf 6 Prozent steigt, legt um zwei Prozentpunkte zu, was einem relativen Anstieg von 50 Prozent entspricht. Die dritte Karte misst die zweite Lesart, nicht die erste, und die beiden Zahlen beantworten verschiedene Fragen.

Wird das Ergebnis gerundet?

Die Anzeige behält zwei Nachkommastellen und das deutsche Trennzeichen. Eine Rechnung, die auf eine periodische Dezimalzahl führt, etwa 100 ÷ 3, wird deshalb erst bei der Ausgabe gerundet, während der interne Wert seine volle Genauigkeit behält.

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