Calcular porcentajes

Con los porcentajes vuelven siempre las mismas tres preguntas, y ninguna se resuelve con la misma operación. ¿Cuánto es el 15 % de 240? ¿Qué proporción representa 45 sobre 180? ¿Cuánto ha variado un precio que pasa de 89,90 a 62,93? La página coloca los tres cálculos uno junto a otro, cada uno en su tarjeta, con dos campos y un resultado.

No hay nada que validar. Una tarjeta se actualiza en cuanto sus dos campos contienen un número, los decimales se admiten sin restricción de paso y el resultado aparece con dos decimales. Las tres tarjetas son independientes, de modo que una cifra puede quedarse quieta en una mientras se trabaja en otra, y un cálculo en tres tiempos permanece a la vista en lugar de rehacerse a cada paso.

La dificultad de los porcentajes nunca está en la aritmética, sino en la base sobre la que se aplican. Una subida y una bajada de la misma magnitud no se compensan, dos descuentos encadenados no se suman y una diferencia de puntos no es una variación porcentual. Los tres tropiezos están explicados más abajo, con el cálculo completo en cada caso.

Cómo se usa

1. Localice la tarjeta que plantea su preguntaTres bloques se suceden en la página: cuánto es el X % de Y, qué porcentaje representa X sobre Y y qué variación hay de X a Y, ya sea una subida o un descuento.
2. Primera tarjeta, aplicar un porcentajeEscriba el porcentaje en el campo X (%) y el valor en Y. El resultado es un número desnudo, sin unidad: usted sabrá si son euros, gramos o visitantes.
3. Segunda tarjeta, expresar una proporciónX es la parte, Y el total, y el resultado lleva el símbolo de porcentaje. Un total igual a cero muestra un guion en lugar de una cifra, porque ninguna proporción puede medirse sobre nada.
4. Tercera tarjeta, medir una evoluciónX es el valor de partida e Y el valor de llegada. Una subida aparece precedida de un signo más; una bajada lleva su propio signo menos. El orden de los dos campos es lo que fija el sentido de la variación.
5. Corrija las cifras sobre la marchaLos dos campos admiten cualquier número decimal, sin paso fijo. Cambiar un dígito recalcula esa tarjeta al instante y deja las otras dos exactamente como estaban.

Las tres fórmulas

Aplicar un porcentaje: el X % de Y = X × Y ÷ 100. El 15 % de 240 es 15 × 240 ÷ 100 = 36. Expresar una proporción: X ÷ Y × 100. Cuarenta y cinco sobre ciento ochenta da 45 ÷ 180 × 100 = 25 %. Medir una variación: (Y − X) ÷ X × 100. De un precio de 89,90 a otro de 62,93, el cálculo es (62,93 − 89,90) ÷ 89,90 × 100 = −30 %.

El denominador es lo único que se mueve de una fórmula a la siguiente, y ahí es exactamente donde viven los errores. Una variación se mide siempre contra el valor de partida, nunca contra el de llegada ni contra la media de ambos. Intercambiar los dos campos de la tercera tarjeta no devuelve, por tanto, el número opuesto: de 100 a 120 se lee +20 %, mientras que de 120 a 100 se lee −16,67 %.

Una subida del 20 % seguida de una bajada del 20 %

El resultado no es el punto de partida. Tome 100: la subida del 20 % añade 20 y deja 120. La bajada del 20 % se aplica ahora sobre 120, de modo que resta 24 en vez de 20 y deja 96. Sobre el conjunto del recorrido, la tercera tarjeta anuncia (96 − 100) ÷ 100 × 100 = −4 %.

La causa es el cambio de base: el primer porcentaje se aplica sobre 100 y el segundo sobre 120. Para volver exactamente a 100 desde 120 hay que quitar 20 ÷ 120, es decir, un 16,67 %, algo que la tercera tarjeta confirma escribiendo 120 y después 100. Una ida y vuelta del 50 % es todavía más llamativa: un valor partido por la mitad tiene que duplicarse, o sea, subir un 100 %, solo para recuperar su nivel anterior.

El mismo mecanismo gobierna los descuentos encadenados, tan habituales en rebajas y en las segundas rebajas que vienen después. Un 30 % seguido de un 20 % adicional no suma un 50 %: el precio se multiplica por 0,70 y luego por 0,80, es decir, por 0,56, lo que corresponde a un descuento real del 44 %.

Puntos porcentuales, porcentajes y unidades

Un tipo que pasa del 4 % al 6 % gana dos puntos porcentuales, mientras que la tercera tarjeta anuncia un +50 %. Las dos afirmaciones son correctas. Los puntos miden la distancia absoluta entre dos porcentajes; el porcentaje mide la evolución relativa de uno hacia el otro. La confusión es rutinaria al comentar encuestas, cuotas de mercado o tipos de interés, y se disuelve en cuanto la frase precisa cuál de las dos lecturas está en juego.

Las tarjetas no transportan ninguna unidad. La primera devuelve un número bruto y las otras dos un porcentaje. Si entran euros, se leen euros; si se mezclan gramos con litros, la página calculará sin protestar un resultado bien formateado y sin ningún sentido. Nada avisa, porque nada aquí sabe qué representan las cifras.

Lo que estas tres tarjetas no hacen

Ninguna invierte una variación. Recuperar el precio original a partir de un precio rebajado exige una división: un artículo marcado en 62,93 € tras un descuento del 30 % costaba 62,93 ÷ 0,70 = 89,90 €. El mismo mecanismo rige el paso de un precio con IVA a un precio sin IVA, que la calculadora de IVA de esta web resuelve directamente y en los dos sentidos.

Ninguna encadena dos operaciones: el resultado de una tarjeta hay que llevarlo a mano a la siguiente. Y ninguna calcula un porcentaje medio a lo largo de varios periodos, operación que corresponde a la media geométrica y no a la media aritmética de las variaciones.

La tercera tarjeta supone, por último, un valor de partida distinto de cero. Con una salida en cero muestra un guion, porque no existe variación relativa a partir de la nada. Con una salida negativa —un saldo bancario, un resultado contable— el cociente se sigue calculando, pero el signo que se imprime delante depende del orden de los dos números y no del sentido real de la evolución, de manera que la pantalla puede acabar poniendo un más delante de un empeoramiento. En magnitudes que cambian de signo conviene razonar sobre la diferencia absoluta.