Calcular percentagens

Há três perguntas que aparecem sempre com percentagens e nenhuma delas é a mesma conta. Quanto são 15 % de 240? Que percentagem representa 45 em 180? Quanto varia um preço que desce de 89,90 € para 62,93 €? Esta página põe os três cálculos lado a lado, cada um no seu cartão, com dois campos e um resultado.

Não há nada para validar. Um cartão atualiza-se assim que os dois campos contêm um número, os decimais são aceites sem constrangimento de passo, e o resultado sai com duas casas decimais e vírgula. Os três cartões são independentes: um valor pode ficar parado num deles enquanto trabalha noutro, o que permite guardar à vista um cálculo feito em três tempos em vez de o recomeçar de cada vez.

A dificuldade das percentagens nunca está na aritmética, está na base sobre a qual se aplicam. Uma subida e uma descida da mesma grandeza não se anulam, dois descontos seguidos não se somam, e uma diferença medida em pontos não é uma variação percentual. As três armadilhas estão desmontadas mais abaixo, com a conta completa em cada caso.

Como usar

1. Encontre o cartão que faz a sua perguntaTrês blocos seguem-se pela página abaixo: quanto são X % de Y, X representa que percentagem de Y, e variação de X para Y, seja essa variação uma subida ou um desconto.
2. Primeiro cartão, aplicar uma taxaEscreva a taxa no campo X (%) e o valor no campo Y. O resultado é um número nu, sem unidade agarrada: se representa euros, gramas ou visitantes é consigo.
3. Segundo cartão, exprimir uma parteX é a parte, Y é o total, e o resultado vem seguido do sinal de percentagem. Um total igual a zero mostra um travessão em vez de um número, porque nenhuma proporção se mede em relação a nada.
4. Terceiro cartão, medir uma evoluçãoX é o valor inicial e Y o valor final. Uma subida é precedida de um sinal mais; uma descida traz o seu próprio sinal menos. É a ordem dos dois campos que fixa o sentido da leitura.
5. Corrija os valores enquanto trabalhaOs campos aceitam qualquer número decimal, sem passo fixo. Mudar um algarismo recalcula imediatamente esse cartão e deixa os outros dois exatamente como estavam.

As três fórmulas

Aplicar uma taxa: X % de Y = X × Y ÷ 100. Quinze por cento de 240 são 15 × 240 ÷ 100 = 36. Exprimir uma parte: X ÷ Y × 100. Quarenta e cinco em cento e oitenta dão 45 ÷ 180 × 100 = 25 %. Medir uma variação: (Y − X) ÷ X × 100. De um preço de 89,90 € para um preço de 62,93 €, a conta dá (62,93 − 89,90) ÷ 89,90 × 100 = −30 %.

O denominador é a única coisa que muda de uma fórmula para a outra, e é exatamente aí que moram os enganos. Uma variação mede-se sempre contra o valor de partida, nunca contra o de chegada nem contra a média dos dois. Trocar os dois campos do terceiro cartão não devolve, por isso, o simétrico do resultado: de 100 para 120 lê-se +20 %, de 120 para 100 lê-se −16,67 %.

Uma subida de 20 % seguida de uma descida de 20 %

O resultado não é o ponto de partida. Comece em 100: a subida de 20 % acrescenta 20 e dá 120. A descida de 20 % passa a incidir sobre 120, retira portanto 24 e não 20, e deixa 96. No conjunto do percurso, o terceiro cartão anuncia (96 − 100) ÷ 100 × 100 = −4 %.

A causa é a mudança de base: a primeira percentagem aplica-se a 100, a segunda a 120. Para voltar exatamente a 100 a partir de 120 é preciso retirar 20 ÷ 120, ou seja 16,67 %, coisa que o terceiro cartão confirma escrevendo 120 e depois 100. Uma ida e volta de 50 % é ainda mais espetacular: um valor reduzido a metade tem de duplicar, isto é, de subir 100 %, só para regressar ao que era.

O mesmo mecanismo governa os descontos encadeados, que é como quem diz a época de saldos. Menos 30 % seguidos de menos 20 % não fazem 50 %: o preço é multiplicado por 0,70 e depois por 0,80, o que dá 0,56 e corresponde a um desconto real de 44 %.

Pontos percentuais, percentagens e unidades

Uma taxa que passa de 4 % para 6 % ganha dois pontos percentuais, ao passo que o terceiro cartão anuncia +50 %. As duas afirmações estão certas. Os pontos medem a distância absoluta entre duas taxas; a percentagem mede a evolução relativa de uma para a outra. A confusão é rotineira nos comentários a sondagens, a quotas de mercado e a taxas de juro, e desaparece assim que a frase diz qual das duas leituras está em causa.

Os cartões não transportam unidades nenhumas. O primeiro devolve um número bruto, os outros dois uma percentagem. Escreva euros e lê euros; misture gramas com litros e a página produz, sem se queixar, um resultado impecavelmente formatado e sem sentido nenhum. Nada o avisa, porque nada aqui sabe o que os números representam.

O que estes três cartões não fazem

Nenhum deles inverte uma variação. Recuperar o preço anterior ao desconto é uma divisão: um artigo exposto a 62,93 € depois de 30 % de desconto custava 62,93 ÷ 0,70 = 89,90 €. A mesma mecânica governa a passagem de um preço com IVA para um preço sem IVA, que a calculadora de IVA deste site trata diretamente, nos dois sentidos.

• Encadear duas operações: o resultado de um cartão tem de ser copiado à mão para o cartão seguinte.
• Calcular uma taxa média ao longo de vários períodos, o que exige uma média geométrica e não a média aritmética das variações.
• Trabalhar a partir de um valor inicial nulo: o terceiro cartão mostra um travessão, porque não existe variação relativa a partir de nada.
• Lidar bem com grandezas que mudam de sinal, como um saldo bancário ou um resultado contabilístico.

Este último ponto merece um aviso. Com um valor de partida negativo o quociente continua a ser calculado, mas o sinal acrescentado à frente segue a ordem dos dois números e não o sentido real da evolução, pelo que o ecrã pode acabar a justapor um mais e um menos. Nessas situações, raciocine sobre a diferença absoluta em vez da percentagem.